teorema empat warna

lama tidak nulis di blog, para pecinta matematika. semester ini aku mendapt tugas untuk membuktikan teorema empat warna dalam mata kuliah teori graf. setelah mencari di internet ternyata pembuktiannya belum ada. sampai akhirnya aku membuktikannya menggunakan ilustrasi tapi ternyata teorema empat warna ini bisa dibuktikan dengan induksi matematika, seperti toerema 5 dan 6 warna. untuk itu terimajkasih untuk kelompok yang membuktikan teorema 5 dan 6 warna..
ini pembuktian teorema 4 warna

Jika G adalah graf planar, simple maka χ(G) ≤ 4

Bukti

Dengan menggunakan induksi matematika, n sebagai banyaknya simpul pada graf G

i)         Dibuktikan untuk n= 1, 2, 3, 4 benar

Pernyataan jelas benar untuk n=1, 2, 3, 4

ii)        Diasumsikan pernyataan benar untuk setiap graf simple, terhubung dan planar dengan simpul n-1 dimana n ≥ 5

Akan dibuktikan pernyataan benar untuk setiap graf dengan n simpul

·      Diketahui graf G  dengan n simpul

Maka G memuat suatu simpul dengan d(v) ≤ 4 (karena setiap graf planar memuat  setidaknya satu simpul v dengan d(v) ≤ 4)

Jika simpul v dihapuskan maka dihailkan graf planar H dengan |V(H)|= n-1

·   H graf planar dengan |V(H)|=n-1 maka berdasarkan asumsi setiap simpul dari graf G dapat di warnai dengan χ(G) ≤ 4

·   Selanjutnya v di kembalikan pada graf G

Terdapat 2 kemungkinan

Ø  d(v) < 4

karena v berikatan dengan 3 atau kurang dari 3 simpul dan ada 4 warna yang tersedia maka masih ada warna yang belum digunakan untuk member warna v.

Ø  d(v)=4

karena v berikatan dengan 4 simpul dan hanya ada 4 warna yang tersedia maka tidak ada warna yang tersisa untuk mewarnai v. untuk memberi warna pada v maka akan kita pandang simpul dua simpul (selain v) yang tidak saling berikatan tapi membentuk lintasan. Pewarnaan ini dapat diselesaikan sebagai berikut

v  jika kedua simpul tersebut tidak berikatan maka dapat diberi warna yang sama sehingga masih ada warna yang tersisa untuk member warna simul v.

v  apabila dua simpul tersebut membentuk lintasa maka simpul yang berada didalam tidak mungkin terhubung dengan simpul yang berada di luar lintasan. Sehingga simpul yang di dalam lintasan dan di luar lintasan dapat diberi warna yang sama. Sehingga masih  tersisa satu warna untuk member simpul v.

Jika untuk setiap  graf planar, simple dapat diwarnai dengan 4 atau kurang dari 4 (χ(G) ≤ 4)

HISTORY OF MATH

NAMA : MEI MUTLIMAH

NIM : 10305144043

http://meimutlimah.blogspot.com/

Review 8 Mei 2012

Matematika adalah ilmu yang mempelajari bentuk, besaran, dan ukuran. Kata matematika sendiri berasal dari bahasa Yunani yaitu mathēmatiká yang berarti bentuk, stuktur. Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan, sehingga mempunyai ciri khas daripada ilmu pengetahuan yang lain. Ciri khas dari matematika adalah jika matematika kita misalkan sebagai satu kesatuan maka di dalam matematika terdapat   satu per empat dari matematika adalah ilmu, satu per empat struktur,  satu per empat kreativitas dan satu per empat yang terakhir adalah proses. Matematika sendiri berasal dari pikiran dan pengalaman manusia. Sehingga matematika merupakan satu kesatuan dengan manusia.

Selain sebagai hasil berfikir matematika juga terbentuk karena pengalaman manusia di dunia secara empiris. Dari pengalaman inilah kemudian diproses sehingga terbentuklah konsep-konsep matematika. Agar konsep-konsep matematika ini mudah dipahami oleh semua orang maka di gunakan bahasa matematika atau notasi matematika, sehingga matematika sendiri di sebut sebagai bahasa universal. Karenakonsep matematika di dapat melalui proses berfikir maka logika merupakan dasar pembentukan matematika.

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif,karena proses mencari kebenaran didalam matematika dengan metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Walaupun dalam matematika mencari pembuktian itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya pengambilan kesimpulan secara umum harus dapat dibuktikan secara deduktif. Selain itu matematika merupakan ilmu yang terstruktur. Hal ini karena matematika merupakan ilmu yang dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan ke  aksioma atau postulat kemudian teorema. Konsep matematika tersruktur, logis, dan sistematis. Oleh karena itu belajar matematika harus urut dan konsep sebelumnya akan menjadi prasyarat selanjutnya. Sehingga matematika sering disebut ilmu tentang pola dan hubungan. Matematika mengajarkan kita untuk kreativitas dalam menyelesaikan suatu masalah karena di dalam matematika tidak hanya ada satu metode malainkan banyak metode untuk menyelesaikan masalah.

Dalam kehidupan ini matematika menyatu dengan manusia sehingga matematika juga menempati ruang dan waktu. Matematika yang kita pelajari saat ini dibagi menjadi dua yaitu matematika yang dianggap sempurna ( idealisme ) dan matematika yang hanya mempelajari sifat-sifatnya saja ( abstraksi ). Matematika Idealisme dipelopori oleh Plato. Bagi Plato matematika bukanlah idealisasi aspek-aspek empiris akan teyapi deskripsi dari bagian realitas. Matematika merupakan bayangan cermin struktur realistis yang sebenarnya (http://alfianxxx.blogspot.com/2009/01/konsep-pemikiran-plato-terhadap.html)

Selain matematika di anggap sempurna ( idealisme ), banyak para tokoh yang mempunyai pemikiran tersendiri tentang matematika. Seperti Brouwer, menurutnya matematika adalah aktivitas berfikir secara bebas namun eksak, suatu aktivitas yang ditemukan dari intuisi pada suatu saat tertentu. Tidak ada realisme terhadap objek-objek dan tidak ada bahasa yang mampu menjembatani. Tidak ada kebenaran-kebenaran tanpa dilakukan pembuktian ( http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/brouwer.html ). Berbeda dengan Brouwer, Hilbert menggangap matematika suatu yang fundamental, idealis dan formal.

Imanuel kant memberikan kontribusi dalam filsafat matematika, terutama peran intuisi dan konsep matematis. Menurutnya matematika tidak dikembangkan hanya dengan konsep pikiran tetapi data empiris yang diperoleh dari pengalaman. Dengan demikian matematika merupakan fiksi ilmiah. Matematika di bangun dari intuisi murni yaitu ruang dan waktu. Seperti konsep geometri dari ruang yang mewakili objek.

Review of the history of Rene Descartes

NAMA  : MEI MUTLIMAH

NIM       : 10305144043

http://meimutlimah.blogspot.com/

Rene Descartes adalah seorang ilmuwan, filusuf dan matematikawan asal Perancis. Rene Descartes lahir di La Haye tanggal 31 Maret 1596 dan meninggal di Stockholm, Swedia 11 Februari 1650. Rene de cartes adalah putra Joachim Descartes seorang penasehat di parlemen dan intelektual, tetapi hanya sedikit waktu yang dapat dicurahkan ayahnya kepadanya dan saudara-saudaranya. Sedangkan ibunya meninggal ketika melahirkan sehingga Rene Descartes tinggal bersama neneknya.

Ketika berumur 8 tahun Rene Descartes bersekolah di Jesuit, La fleche. Setelah dia keluar dari sekolah Rene Descartes berfikir keras  bahwa semuanya tidak ada yang pasti, kecuali kenyataan bahwa seseorang bisa berpikir, atau istilahnya ‘I think therefore Iam’. Pemikiran inilah yang telah menjadikan revolusi filsafat di Eropa.

Kemudian ketika berumur 24 tahun Rene Descartes mendapatkan gelar sarjana hukum walaupun ilmunya tidak pernah dipraktikan. Meskipun Rene Descartes memperoleh pendidikan formal yang baik, tetapi Rene Descartes yakin bahwa tidak ada ilmu apa pun tanpa matematik. Karena itu dia tidak meneruskan pendidikan formalnya melainkan berkeliling Eropa dan melihat dunia dengan mata kepalanya sendiri. Rene Descartes berpindah-pindah tempat dan akhirnya memutuskan untuk tinggal di Belanda.

Meski terkenal karena filosofi-filosofinya Rene Descartes juga terkenal sebagi pencipta sistem koordinat kartesius dalam bidang geometri. Rene Descartes menemukan teori geometri koordinat, teori ini dikenal dengan nama koordinat Cartesius. Koordinat ini memperlihatkan bahwa dengan sepasang garis lurus yang berpotongan sebagai garis-garis pengukur, suatu jaring garis petujuk dapat disusun, tempat-tempat bilangan dapat ditaruh sebagai titik. Namun pada dasarnya teori ini bukan murni dari Descartes melainkan dari orang-orang kuno. Dia menggunakan aljabar pada geometri, yang merupakan ide Descartes adalah menggunakan koordinat pada geometri. Koordinat kartesius ini mempengaruhi perkembangan kalkulus modern. Pada tahun 1619 Rene Descartes memperkenalkan Geometri Analitik yang sangat berpengaruh dalam pengembangan kalkulus. Geometri Analitik berperan penting dalam pengembangan matematika karena telah mempersatukan konsep-konsep dari analisis dan geometri. Dengan masalah geometris dapat diterjemahkan ke dalam suatu masalah secara aljabar.

Pada tahun 1929 Rene Descartes menulis buku yang berjudul Rules for the Direction of the Mind buku ini membahas metode menyelesaikan masalah matematika, ilmu pengetahuan, dan filsafat. Namun buku ini sebenarnya tidak diselesaikan. Karena Rene Descartes sendiri tidak berminat untuk menerbitkannya, buku ini diterbitkan setelah dia meninggal.  Salah satu karya terbesar Rene Descartes adalah Discourse on Method ( 1637 ) yang di tulis dalam bahasa Perancis. Dalam buku tersebut Descartes menyatakan tidak puas dengan tradisi filsafat dan ilmu pengetahuan, kemudian ia menjelaskan tujuan hidupnya untuk membimbing akal manusia ke arah penemuan kebenaran dan penghapusan kesalahan. Setelah itu karya selanjutnya yaitu Meditations of First Philosophy yang diterbitkan dalam bahsa latin pada tahun 1641. Selanjutnya segera menyusul seri keberatan- keberatan para ilmuwan disertai jawaban langsung dari Descartes. Karya filsafat lainnya adalah The Principles of Philoshopy yang terbit pada tahun 1644, dan Passion of the Soul tahun 1649. The Principles of Philosophy merupakan usaha ambisius Descartes menyusun secara sistematis metode filsafatnya dan dari situ ia menarik suatu dasar bagi pertanggungjawaban dunia fisik. Sedangkan Passion of the Soul merupakan pengukuhn dari filsafat penalaran.

Sedikitnya ada lima ide Descartes yang berpengaruh terhadap jalan pikiran Eropa : pandangan mekanisnya mengenai alam semesta, sikapnya yang positif terhadap penjajagan ilmiah, tekanan yang diletakkan pada penggunaan matematika dalam ilmu pengetahuan, pembelaannya terhadap dasar sikap skeptis dan perhatian terhadap epistemologi. Metodenya adalah meragukan semua pengetahuan yang ada, yang kemudian mengantarkan pada kesimpulan bahwa pengetahuan yang ia kategorikan ke dalam tiga bagian dapat diragukan

1.      Pengetahuan yang beradal dari pengalaman inderawi dapat diragukan, semisal kita memasukan kayu lurus kedalam air maka akan nampak bengkok.

2.      Fakta umum tentang dunia semisal api itu panas dan benda yang berat akan jatuh juga dapat diragukan. Descrates menyatakan bagaiman jika kita mengalami mimpi yang sama berkali-kali dan dari situ kita mendapatkan pengetahuan umum tersebut

3.      Logika dan matematika. Prinsip -prinsip logika dan matematika juga ia ragukan. Ia menyatakan bagaimana jika ada suatu makhluk yang berkuasa memasukkan ilusi dalam pikiran kita, dengan kata lain kita berada dalam suatu matrik.

Dari keraguan tersebut, Descartes hendak mencari pengetahuan apa yang tidak dapat diragukan. Yang akhirnya mengantarkan pada premisnya Cogito Ergo Sum ( aku berfikir maka aku ada ). Baginya  pikiran manusia adalah sesuatu yang absolut dan tidak dapat diragukan. Sebab meskipun pemikirannya tentang sesuatu salah, pikirannya tertipu oleh suatu matrik, ia ragu akan segalanya, tidak dapat diragukan lagi bahwa pikiran itu sendiri ada. Berawal dari pembuktiannya bahwa pikiran itu ada, filsafatnya membuktikan bahwa tuhan itu ada dan kemudian membuktikan bahwa benda material itu ada.

Descrates mendasarkan akan adanya tuhan pada prinsip bahwa sebab harus lebih besar, sempurna, baik dari akibat. Dalam pikiran Descrates ia memiliki suatu gagasan tentang tuhan adalah suatu mahluk sempurna yang tak terhingga. Gagasan tersebut tidak mungkin muncul atau disebabkan oleh pengalaman dan pikiran diri sendiri, karena kedua hal tersebut merupakan sesuatu yang tidak sempurna dan dapat diragukan sehingga tidak memenuhi prinsip sebab lebih sempurna dari akibat. Gagasan tentang tuhan yang ada dalam kepala (sebagai akibat) hanya bisa disebabkan oleh sebuah mahluk sempurna yang menaruhnya dalam pikiran saya, yakni tuhan.

Setelah membuktikan adanya tuhan, Descrates membuktikan bahwa benda material itu ada. Ia menyatakan bahwa tuhan menciptakan manusia dengan ketidakmampuan untuk membuktikan bahwa benda material itu sejatinya tidak ada. Bahkan tuhan menciptakan manusia untuk memiliki kecenderungan pemahaman bahwa benda material itu ada. Apabila pemahaman benda material ada hanya merupakan sebuah matriks kompleks yang menipu pikiran manusia, itu berarti tuhan adalah penipu, dan bagi descrates penipu ialah ketidaksempurnaan. Padahal tuhan ialah mahluk yang sempurna, oleh karena itu tuhan tidak mungkin menipu, sehingga benda material itu pastilah ada.

Selain itu juga terdapat langkah-langkah metode berfikir menurut Descartes

1.      Tidak menerima apa pun sebagai hal yang benar kecuali kalau diyakini sendiri bahwa itu memang benar

2.      Memilah-milah masalah menjadi bagian-bagian terkecil untuk mempermudah penyelesaian

3.      Berfikir runtut dengan mulai dari hal yang sederhana sedikit demi sedikit untuk sampai ke hal yang paling rumit

4.      Perincian yang lengkap dan pemeriksaan menyeluruh diperlukan supaya tidak ada yang terlupakan

IKHTISAR MAN OF MATHEMATIC

NAMA  : MEI MUTLIMAH

NIM       :10305144043

Review tanggal 24 April 2012

Dalam buku man of mathematics ini mengisahkan tentang beberapa tokoh matematika. Para tokoh ini tidak hanya dari kalangan ilmuwan, tetapi dari berbagai golongan yang telah menyumbangkan ide dalam kemajuan matematika. Dari ide maupun pengalaman tokoh-tokoh ini mulai berkembanglah ilmu pengetahuan sampai saat ini. Dalam buku man of mathematics tidak hanya membahas tentang matematika itu sendiri tetapi berbagai hal yang menarik yang dapat menginspirasi generasi muda. Beberapa tokoh matematika yang mempunyai peran penting dalam kemajuan matematika

Zeno (5SM)

Zeno adalah seorang filusuf  Yunani dari Italia selatan. Zeno dikenal karena paradoksnya serta teori-teori modern.

Eudoxus dari Conidus ( 410 or 408 BC – 355 or 347 BC ) adalah seorang ahli astronomi dan ahli matematika. Eudoxus adalah murid Plato, hasil karyanya dalam bidang astronomy matematika  Eudoxus memperkenalkan astronomi dunia. Selain itu Eudoxus juga terkenal dengan proporsi bilangan, tidak hanya bilangan bulat tetapi bilangan rasional. Hasil karyanya kemudian dibuktikan oleh Tartaglia pada abad 16. Metode ini terus digunakan sampai ditemukannya metodelain oleh Descrates. Eudoxus menemukan cara menghitung luas dengan cara menghabiskan.

Archimedes dari syracuse adalah salah satu ilmuwan yang paling terkenal .  Archimedes dianggap ilmuwan  kuno terbesarsepanjang massa. Archimedhes menggunakan metode kelelahan untuk menghitung daerah di bawah garis dari suatu parabola dengan cara menjumlahkan bilangan berpola yang tak terbatas. Archimedes juga menemukan bilangan pi yang lebih akurat.

Rene Descartes adalah filusufis matematika dari Perancis. Rene Descrates sering di sebut sebagai ‘ Bapak Filsafat Modern ‘, sistem koordinat cartesius adalah salah satu contoh dari temuannya. Dia juga di sebut sebagai bapak geometri analitis. Karyanya yang terpenting adalah Discours de la methode dan Meditationes de prima Philosophia.

Pierre de Fermat adalah seorang pengacara dari Perancis namun dia juga seorang matematikawan yang telah memberikan kontribusi dalam perkembangan kalkulus diferensial.

Blaise Pascal juga merupakan matematikawan dari perancis. Blaise Pascal menemukan teori probabilitas, bersama dengan Fermat. Keduanya memberikan dasar perkembangan bidang seperti ilmu asuransi, mempelajari keturunan dan segitiga pascal digunakan untuk menghitung probabilitas sederhana.

Isaac newton adalah seorang fisikawan, matematikawan, ahli astronomi dan juga ahli kimia dari Inggris. Newton merupakan pengikut aliran heliosentris dan merupakan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan beliau di sebut sebagai bapak fisika modern. Bekerjasama dengan Leibniz, Newton mengembangkan teori kalkulus.

Gottfried Wilhelm Leibniz adalah seorang matematikawan dari German. Dalam sejarah matematika Leibniz sangat berpengaruh karena dia mengembangkan ilmu kalkulus secara independent. Leibniz juga merupakan salah satu penemu kalkulator numerik.

Keluarga Bernoullis berasal dari Basel, Swiss  banyak ilmuwan tekenal yang berasal dari keluarga Bernoullis. Seperti persamaan Bernoulli serta penggunaan kurva pada kalkulus diferensial dan peluang.

Jacob Bernoulli (1654-1705, juga dikenal sebagai James atau Jacques) matematika setelah yang nomor Bernoulli diberi nama.

Nicolaus Bernoulli (1662-1716) Pelukis dan anggota dewan kotapraja Basel.

Johann Bernoulli (1667-1748, juga dikenal sebagai Jean) matematikawan Swiss dan pengguna pertama dari kalkulus .

Nicolaus Bernoulli  (1687-1759) ahli matematika Swiss.

Nicolaus II Bernoulli (1695-1726) ahli matematika Swiss; bekerja pada kurva, persamaan diferensial , dan probabilitas .

Daniel Bernoulli (1700-1782) Pengembang Prinsip Bernoulli dan St Petersburg paradoks .

Johann Bernoulli II (1710-1790; juga dikenal sebagai Jean) matematikawan dan fisikawan Swiss.

Leonhard Euler seorang matematikawa Swiss, Leonhard Euler membuat penemuan yabg beragam dalam matematika seperti kalkulus dan teori graph. Dia juga memperkenalkan berbagai terminalogi modern dan notasi, khususnya dalam matematika analisis. Karya Euler yang paling terkenal adalah introdutio of analysis infinitorum dan differential calculus. Ia memperkanalkan konsep fungsi.

Joseph-Louis Lagrange (25 Januari 1736 - 10 April 1813), lahir Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia , adalah seorang matematikawan dan astronom lahir di Turin , Piedmont , yang tinggal sebagian besar hidupnya di Prusia dan bagian di Perancis. Dia membuta kontribusi signifikan untuk semua bidang analisis, teori bilangan. Bukunya theorie des Fonctions analytiques meletakkan beberapa dasar-dasar teori grup.

Pierre-Simon, Marquis de Laplace adalah seorang ahli matematika dan astronom dari Perancis yang bekerja dalam perkembangan matematika astronomi dan statistik. Laplace merumuskan teori laplace dan memelopori transformasi Laplace

Gaspard Monge adalah matematikawa perancis, dan penemu geometri deskriptif.

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 Maret 1768 - 16 Mei 1830) adalah seorang matematikawan dan fisikawan terkenal dari Perancis. Fourier memulai penyelidikan deret Fourier dan aplikasi mereka untuk masalah perpindahan panas dan getaran.  Fourier juga penemu efek rumah kaca.

Jean-Victor Pncelet adalah seorang insinyur dan ahli matematika dari perancis. Karyanya yang paling terkenal adalah geometri proyektif, khususnya dalam teorema Feuerbah.

Johann carl friedrich Gauss adalah ahli matematika dan ilmuwan fisika dari Jerman, ia berkontribusi secara signifikan pada berbagaibidanf temasuk teori bilangan, statistika analisis, geometri, geodesi, geofisika, astronomi dan optik. Gauss sendiri sering mendapat julukan pangeran matematika .

Baron Augustin-Louis Cauchy adalah matematikawan perancis dan merupaka pelopor matematika analisis. Dia membuktikan teorema dari kalkulus dan menolak prinsip heuristik dari aljabar. Dia menetapkan kontinutas dalam infinitesimals dan memberi teorema di analisis komplek serta memprakarsai dalam aljaba abstrak. Karyanya yang paling terkenal adalah teori fungsi komleks. Dia adalah orang pertama yang membuktikan teorema taylor.

Nikolai Lobashevsky adalah seorang matematikawan Rusia. Karyanya yang terkenal adalah geometri hiperbolik atau sering disebut  Lobashevsky. William Clifford Kingdon menyebut Lobashevsky sebagai ‘ Copernicus Geometry.

Carl Gustav Jacob Jacobi (10 Desember 1804 - 18 Februari 1851) adalah seorang matematika Jerman, dia dianggap sebagai guru yang paling inspiratif besar waktunya dan dianggap salah satu matematika terbesar dari generasinya. Hasil karyanya yang terkenal adalah teori elip dan hubungan dengan fungsi teta elip.

Sir William Rowan Hamilton( 1805-1865) adalah seorang fisikawan, astronom dan matematikawan dari Irlandia. Dia membuat kontribusi penting untuk mekanika klasik, optik dan aljabar. Penelitian tentang sistem mekanik dan optik yang dia pimpin untuk menemukan konsep-konsep matematika dan teknik yang baru.kontribusinya yang terbesar adalah tentang reformulasi mekanika Newton yang sekarang di sebut mekanika Hamilton.karya ini penting bagi studi teori medan klasik seperti elektromagnetik dam pengembangan mekanika  kuantum.

Evariste Galois adalah matematikawan dari Perancis. Ketika masih remaja Evariste Galois mampu menemukan syarat pelu dan syarat cukup untuk polinomial. Karyanya merupakan dasar dari teori Galois dan teori grup, dua cabang ilmu utama dari aljabar abstrak dan hubungan Galois. Evariste Galois adalah orang pertama yang menggunakan istilah grup untuk mewakili sekelompok permutas.

James Joseph Sylvester ( 1814-1897 ) adalah seorang matematikawa dari Inggris . ia membaut kontribusi yang sangat fundamental untuk teori matriks, teori bilangan, teori partisi dan kombinatorik. Ia memainkan peran kepemimpinan dalam matematika Amerika pada paruh akhir abad ke-19 sebagai seorang profesor di Johns Hopkins University dan sebagai pendiri dari American Journal of Matematika. Ia adalah profesor di Oxford .

Cayley juga merupakan ahli matematika dari Inggris. Dia sangat menikmati dalam pemecahan bilangan kompleks dan dia juga menduga tentang teori Caley-hamilton bahwa setiap matrik persegi adalah akar-akarnya sendiri dari persamaan karakteristik.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( Jerman :  1815 - 1897) adalah seorang matematika Jerman yang sering disebut sebagai "bapak analisi modern".

Sofia kovalevskaya Vasiyevna adalah matematikawa perempuan Rusia yang berkontribusi dalam analisis persamaan diferensial dan mekanik. Dia juga salah stu wanita yang di tunjuk untuk sebagai guru besar di Eropa.

George Boole adalah matematikawa dari Ingrris. Dia adalah ahli logika, karyanya di bdang persamaan diferensial dan aljabar logika. Sekarang Boole di kenal sebagai penulis Boole logic. Dia juga sebagai penemu logika Boolean yang menjadi dasar dari komputer digital modern.

Cahrles hermite ( Perancis : 1822-1901 ) melakukan penelitian pada toeri bilangan, persamaan kuadrat, teori invarian, polinomal artogonal, dan aljabar. Salah satu muridnya yaitu Henri Poinare orang pertama yang membuktika bahwa e adalah basis logaritma alami, dan merupakan bilangan transendal. Tetapi dia belum mampu membuktikan funsi turunan yang tidak kontinu.

Leopold Kronecker  ( Jerman : 1823-1891 ) bekerja pada teori bilangan dan aljabar. Dalam makalah tentang tori persamaan dan teori galoisia ia merumuskan teorema Kronecker- Weber namun tida  membuat buktu.  Dia juga memperkenalkan teorema struktur.

Georg Friedrich Bernhard Reimann ( Jerman : 1826-1866 ) berkontribusi dalam analisis riil dan geometri diferensial.  Dan dalam penghitungan luas dalam kalkulus integral kita dapat menghitung dengan cara jumlahan Reimann. Dia membuat beberapa kontribusi terkenal seperti memperkenalka fungsi zeta Rimann dan memberikan pemahaman tentang pentingnya distribusi bilangan prima.

Ernst Eduard Kummer ( Jerman 1810 - 1893) berkontribusi dalam matematika terapan, seperti hypergeosentrik series atau yang di kenal dengan hubungan pendekatan.

Julius Wilhelm Richard Dedekind ( Jerman 1831-1916) berkontribusi dalam aljabar abstrak ( terutama ring teori ), aljabar teori bilangab dan dasar-dasar bilangan real.

Jules Henri Poicanre ( Perancis 1854-1912 )matematikawan, fisikawan teoritis dan insinyur. Jules Henri Poicanre sering di sebut dengan polymath dan dalam matematika sebagai  The Universalis terakhir karena dia unggul dalam semua bidang disiplin ilmu. Sebagai matematikawa dan fisikawan ia berkontribusi dalam ilmu dasar maupun ilmu terapan. Dia merumuskan dugaan Poincare, yang merupakan permasalahan paling terkenal dan belum terjawab. Ia juga dianggap sebagi salah satu pendiri bidang topologi.

Georg Ferdinand Ludwing Philipp ( Jerman 1845 – 1918 ) penemu dari teori himpunan yang menjadi toeri dasar dari matematika. Cantor mendefinisikan koresponden satu-satu antara dua anggota himpunan. Dia juga membuktikan bahwa bilangan real lebih banyak dari pada bilangan asli.